Encyclopédie Atypique Incomplète

Allez on s’essaie avec le nombre π (à prononcer « pi ») :

Connaissez-vous les 30 premières décimales de π ?

Voiçi un moyen mnémotechnique infaillible qui pourra vous aider :
Il suffit d’apprendre par cœur un petit poème fabriqué de telle façon que les mots aient chacun le nombre de lettres égal à la décimale correspondant à sa place.

• “Que j’aime à faire apprendre un nombre utile aux sages ! Immortel Archimède, artiste, ingénieur, qui de ton jugement peut priser la valeur ? Pour moi ton problème eut de sérieux avantages !”

Ce qui donne π = 3. 14159265358979323846264338379

Connaître π par cœur ne vous servira pas à grand chose dans la vie, je vous l’accorde, mais c’est le genre de truc qui pourra épater vos amis lors d’une soirée  !

Mais... comment l’expliquer ou le retrouver ?

Vous pourrez aussi leur indiquer comment retrouver le nombre π en faisant de jolis dessins sur la nappe ou sur des serviettes :

• Le périmètre d’un cercle divisé par son diamètre est égal à une constante, π.
  Si le diamètre du cercle est 1, sa circonférence est π :
  

• Pour trouver la valeur de π, la méthode de base consiste à construire deux polygones réguliers ayant le même nombre de côtés, en traçant le premier à l’intérieur d’un cercle, l’autre étant tracé autour du même cercle.
  Le fait de diviser les périmètres des deux polygones par le diamètre du cercle permet d’obtenir un encadrement de la valeur du nombre π, qui devient plus précis en augmentant le nombre de côtés des polygones. Avec des hexagones (polygones à six côtés), on trouve que π est compris entre 3 et 3,47.
  

Un peu d’histoire...

La lettre grecque « π » est la première lettre des mots grecs περιφέρεια (périphérie) et περίμετρος (périmètre, c’est-à-dire circonférence).

Le nombre π a très tôt été une source d’inspiration pour de nombreux mathématiciens, et ce autant en algèbre qu’en analyse.
Ainsi, dès l’Antiquité, les savants, notamment les savants grecs, se sont penchés sur les propriétés de ce nombre lors d’études sur des problèmes géométriques.

La plus ancienne valeur de π dont la véracité est attestée provient d’une tablette babylonienne en écriture cunéiforme, découverte en 1936.
Cette tablette date de 2000 avant J.-C.
Les Babyloniens y seraient arrivés en comparant le périmètre du cercle avec celui de l’hexagone inscrit, égal à trois fois le diamètre ; ils en déduisirent une des premières valeurs approchées connues de π :

• π ± 3 + 1/8 = 3.125

Découvert en 1855, le papyrus de Rhind contient le texte, recopié vers l’an 1650 avant notre ère par le scribe égyptien Ahmès, d’un manuel de problèmes pédagogiques plus ancien encore.

On trouve trace d’un calcul qui implique que π est évalué à :

• π ± (16/9)² ± 3.160...

Le Palais de la Découverte

Le mathématicien William Shanks passa 20 ans de sa vie à calculer les décimales de π.
Il en calcula 707, mais seules les 527 premières étaient correctes.
À l’occasion de l’exposition universelle de Paris de 1937, celles-ci furent malheureusement gravées dans la salle π du Palais de la Découverte [1]. L’erreur ne fut détectée qu’en 1945 :

• 3.1415926535897932384626433832795028841971
  693993751058209749445923078164062862089986
  280348253421170679821480865132823066470938
  446095505822317253594081284811174502841027
  019385211055596446229489549303819644288109
  756659334461284756482337867831652712019091
  456485669234603486104543266482133936072602
  491412737245870066063155881748815209209628
  292540917153643678925903600113305305488204
  665213841469519415116094330572703657595919
  530921861173819326117931051185480744623799
  627495673518857527248912279381830119491298
  336733624406566430860213949463952247371907
  021798609437027705392171762931767523846748
  184676694051320005681271452635608277857713
  427577896091736371787214684409012249534301
  4654958537105079227968925892354201...

Les 527 décimales soulignées sont celles que William Shanks calcula « à la main » (soit sans calculatrice ni ordinateur) en 1873 et qui sont exactes.
Joli travail tout de même !

Un nombre infini ?

Le nombre π ne possède pas de développement décimal fini ou périodique.
Car π est un nombre irrationnel [2], c’est-à-dire qu’il n’est pas le rapport de deux nombres entiers.
En fait, ce nombre est transcendant [3]. Ceci signifie qu’il n’existe pas de polynôme non nul à coefficients entiers dont π soit une racine.
Aujourd’hui, avec les calculateurs, le nombre de décimales connues de π dépasse les mille milliards.

La course aux décimales

• Isaac Newton calcula 16 décimales en 1665,
• John Machin 100 en 1706.
• Vers 1760, Euler calcula 20 décimales en une heure (à comparer avec la trentaine de décimales obtenue par Van Ceulen en plus de 10 ans de calcul).
• Georges-Louis Leclerc, comte de Buffon proposa au XVIII^e siècle une expérience de probabilité (Aiguille de Buffon) impliquant π.
• Le mathématicien slovène Jurij Vega calcula en 1789 les 140 premières décimales π parmi lesquelles 137 étaient correctes. Ce record tiendra plus de 50 ans. Il améliora la formule que John Machin avait trouvée en 1706 et sa méthode est toujours mentionnée aujourd’hui.
• Le calcul des décimales de Pi s’emballa au XX^e siècle avec l’apparition de l’informatique : 2 037 sont calculées en 1949 par le calculateur américain ENIAC,
• 10 000 décimales sont obtenues en 1958,
• 100 000 en 1961,
• 1 000 000 en 1973,
• 10 000 000 en 1982,
• 100 000 000 en 1989,
• puis 1 000 000 000 la même année.
• En 2002, 1 241 100 000 000 décimales étaient connues grâce à un japonais, Yasumasa Kanada.

Record du monde de mémorisation

En 2005, un japonais de 59 ans, Akira Haraguchi, a réussi à aligner par cœur 83 431 décimales de π en 13 heures.
Il réitéra son record un an plus tard, en 2006, en mémorisant et récitant publiquement 100 000 décimales pendant 16 heures...

Soyons un peu plus modestes...

Sans aller jusqu’à là, pour en retenir quelques-unes, il existe un moyen mnémotechnique populaire donnant plus de 150 décimales de π, c’est le poème de Maurice Decerf :

• “Que j’aime à faire apprendre un nombre utile aux sages.
  Glorieux Archimède, artiste ingénieux !
  Toi, de qui Syracuse, aime encore la gloire,
  Soit ton nom conservé par de savants grimoires.
  Jadis, mystérieux, un problème existait.
  Tout l’admirable procédé, l ‘œuvre étonnante !
  Que Pythagore découvrit aux anciens Grecs :
  Ô quadrature ! Vieux tourment du philosophe !
  Sibylline rondeur, trop longtemps vous avez
  Défié Pythagore et ses imitateurs !
  Comment intégrer l’espace plan circulaire ?
  Former un triangle auquel il équivaudra ?
  Nouvelle invention : Archimède inscrira
  Dedans un hexagone ; Appréciera son aire
  Fonction du rayon. Pas trop ne s’y tiendra !
  Dédoublera chaque élément antérieur ;
  Toujours de l’orbe calculée approchera ;
  Définira limite ; enfin, l’arc, le limiteur
  De cet inquiétant cercle, ennemi trop rebelle !
  Professeur, enseignez son problème avec zèle…”

On ne peut pas dire que ce soit une grande œuvre littéraire, mais si on remplace chaque mot par le nombre de lettres qui le composent (un mot de 10 lettres donnant 0), on retrouve les décimales de pi :

• Que (3) j’ (1) aime (4) à (1) faire (5) apprendre (9) un (2) nombre (6) utile (5) aux (3) sages. (5)
  Immortel (8) Archimède, (9) artiste, (7) ingénieur ! (9), etc...

Alors ?
Vous arrivez à en retenir combien ?